Sankt-Petersburg-Paradoxon

Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.8alpha first-letter Media Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikipedia Wikipedia Diskussion Bild Bild Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Portal Portal Diskussion 440371 18749746 2006-07-08T12:40:44Z AHOR 134540 /* Erwartungsnutzentheorie */ In der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] und der [[Entscheidungstheorie]] beschreibt das '''St.-Petersburg-[[Paradox]]''' eine Lotterie (zuweilen als ''St.-Petersburg-Lotterie'' bezeichnet), die zu einer [[Zufallsvariable]]n mit unendlichem [[Erwartungswert]] führt, d. h. zu einer unendlich großen erwarteten Auszahlung, die aber trotzdem nur einen relativ kleinen Geldbetrag wert zu sein scheint. Das St.-Petersburg-Paradox ist eine klassische Situation, in der eine naive Entscheidungstheorie, die nur den Erwartungswert als Kriterium verwendet, eine Entscheidung empfehlen würde, die keine (reale) [[rational]]e Person fällen würde. Das Paradox kann gelöst werden, indem das Entscheidungsmodell durch die Verwendung einer [[Nutzenfunktion]] verfeinert wird, oder indem endliche Varianten der Lotterie betrachtet werden. Das Paradox erhielt seinen Namen von [[Daniel Bernoulli]]s Präsentation des Problems und seiner Lösung, die er [[1738]] in den ''Commentaries of the Imperial Academy of Science of Saint Petersburg'' veröffentlichte. ==Das Paradox== In einem [[Glücksspiel]], für das eine Teilnahmegebühr verlangt wird, wird eine faire Münze [[Münzwurf|geworfen]], solange bis zum ersten Mal "Kopf" fällt. Dies beendet das Spiel. Der Gewinn richtet sich nach der Anzahl der Münzwürfe insgesamt. War es nur einer, dann erhält der Spieler 1 Euro. Bei zwei Würfen (also einmal "Zahl", einem "Kopf") erhält er 2 Euro, bei drei Würfen 4 Euro und so fort. Man gewinnt also 2^{''k''−1} Euro, wenn die Münze ''k'' mal geworfen wurde. (In der ursprünglichen Darstellung spielt sich diese Geschichte in einem hypothetischen [[Kasino]] in [[Sankt Petersburg]] ab, daher der Name des Paradox.) Welchen Geldbetrag würde man für die Teilnahme an diesem Spiel bezahlen wollen? Die [[Wahrscheinlichkeit]], dass das erste Mal beim ''k''-ten Münzwurf "Kopf" fällt, ist :$p\_k=\backslash operatorname\{Pr\}(\backslash mbox\{Erstes\; Mal\; Kopf\; beim\; k-ten\; Wurf\})$ ::$=\backslash operatorname\{Pr\}(\backslash mbox\{Kopf\; beim\; ersten\; Wurf\})\backslash cdot\; \backslash operatorname\{Pr\}(\backslash mbox\{Kopf\; beim\; zweiten\; Wurf\})$ ::$\backslash quad\backslash quad\backslash cdots\backslash operatorname\{Pr\}(\backslash mbox\{Kopf\; beim\; \}k\backslash mbox\{-ten\; Wurf\})$ ::$=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdots\backslash frac\{1\}\{2\}$ ::$=\backslash frac\{1\}\{2^k\}.$ Wieviel kann man im Durchschnitt erwarten zu gewinnen? Mit Wahrscheinlichkeit 1/2 ist der Gewinn 1 Euro, mit Wahrscheinlichkeit 1/4 ist er 2 Euro, mit Wahrscheinlichkeit 1/8 ist er 4 Euro etc. Der [[Erwartungswert]] ist daher :$E=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 1+\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash cdot\; 2\; +\; \backslash frac\{1\}\{8\}\backslash cdot\; 4\; +\; \backslash cdots$ ::$=\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; p\_k\; 2^\{k-1\}\; =\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; \{1\; \backslash over\; 2\}=\backslash infty.$ (Σ bezeichnet eine Summierung, siehe ''[[Summenzeichen]]''.) Diese Summe [[Konvergenz|divergiert]] nach unendlich; "im Durchschnitt" erwartet man daher einen unendlichen Gewinn. Allerdings ist die Wahrscheinlichkeit, z.B. 1024 Euro oder mehr zu gewinnen sehr klein: kleiner als 1:1000. Gemäß einer Entscheidungstheorie, die auf dem [[Erwartungswert]] basiert, sollte man daher jede beliebige Teilnahmegebühr akzeptieren. Dies widerspricht natürlich einer tatsächlichen Entscheidung, und scheint auch irrational zu sein, da man in der Regel nur einige Euro gewinnt. Diese offenbar paradoxe Diskrepanz führte zu dem Namen '''St.-Petersburg-Paradox'''. ==Lösungen des Paradox== Es gibt mehrere Ansätze, dieses Paradox zu lösen. ===Erwartungsnutzentheorie=== Ökonomen nutzen dieses [[Paradoxon]], um Konzepte in der [[Entscheidungstheorie]] zu demonstrieren. Das Paradox wird dabei gelöst, indem die naive Entscheidungstheorie, die auf dem [[Erwartungswert]] basiert durch die (vernünftigere) [[Erwartungsnutzentheorie]] (Utility Theorie) ersetzt wird. Diese Theorie der ''sinkenden [[Grenznutzen]]s des Geldes'' wurde schon von Bernoulli erkannt. Die Hauptidee ist hierbei, dass ''doppelt soviel Geld nicht doppelt so gut'' sein muss: Zum Beispiel ist der relative Unterschied in der (subjektiven) Nützlichkeit von 2 Billionen Euro zu 1 Billion Euro sicher kleiner als der entsprechende Unterschied zwischen 1 Billion Euro und gar keinem Geld. Die Beziehung zwischen Geldwert und Nutzen ist also nicht-linear. Verallgemeinert man diese Idee, so hat eine 1:100'000'000'000 Chance, 100'000'000'000 Euro zu gewinnen zwar einen Erwartungswert von einem Euro, muss aber nicht zwingend auch einen Euro wert sein. Wenn wir nun eine Nutzenfunktion, wie zum Beispiel die von Bernoulli vorgeschlagene [[Logarithmus]]funktion ''u''(''x'')=ln(''x'') verwenden, so hat die St.-Petersburg-Lotterie einen endlichen Wert: :: In Bernoullis eigenen Worten: :"Die Berechnung des Wertes einer Sache darf nicht auf ihrem Preis basiert werden, sondern stattdessen auf die Nützlichkeit, die sie besitzt … Unzweifelhaft ist ein Gewinn von 1000 Dukaten für einen Bettler signifikanter als für einen Wohlhabenden, obgleich beide denselben Betrag erhalten." Diese Lösung ist jedoch noch nicht vollauf befriedigend, da die Lotterie in einer Weise geändert werden kann, dass das Paradox wiederauftritt: Dazu müssen wir lediglich die Lotterie so ändern, dass die Auszahlungen $e^\{2^k\}$ betragen, dann ist der Wert der Lotterie, berechnet mit der logarithmischen Nutzenfunktionen, wieder unendlich. Allgemein kann man für jede [[beschränkt|unbeschränkt]]e Nutzenfunktion, eine Variante des St.-Petersburg-Paradox finden, die einen unendlichen Wert liefert, wie von dem Österreichischen Mathematiker Karl Menger als erster bemerkt wurde [Menger, 1934]. Es gibt nun im Wesentlichen zwei Möglichkeiten, dieses neue Paradox, das zuweilen ''Super St. Petersburg Paradox'' genannt wird, zu lösen: *Man kann berücksichtigen, dass ein Kasino nur Lotterien mit einem endlichen Erwartungswert anbieten würde. Unter dieser Annahme lässt sich zeigen, dass das Paradox verschwindet, falls die Nutzenfunktion [[konkav]] ist, was bedeutet, dass man eine [[Risikoaversion]] (zumindest für hohe Geldbeträge) voraussetzt.(Vergleiche [Arrow, 1974].) *Man kann annehmen, dass die Nutzenfunktion nach oben [[beschränkt]] ist. Dies bedeutet nicht, dass die Nutzenfunktion ab einem bestimmten Wert konstant sein muss. Als Beispiel betrachte $u(x)=1-e^\{-x\}$. In den letzten Jahren wurde die Expected Utility Theory erweitert, um Entscheidungsmodelle zu erhalten, die das reale Verhalten von Testpersonen quantitativ besser beschreiben. In einigen dieser neuen Theorien, wie zum Beispiel in [[Prospekttheorie|Kumulativer Prospekttheorie]], taucht das St.-Petersburg-Paradox in einigen Fällen auch dann auf, wenn die Nutzenfunktion konkav und der Erwartungswert endlich ist, jedoch nicht, wenn die Nutzenfunktion beschränkt ist [Rieger and Wang, 2006]. ===Endliche St. Petersburg Lotterie=== In der klassischen Variante der St.-Petersburg-Lotterie hat das Kasino unbegrenzte Geldvorräte, das Spiel kann also beliebig lange gehen. Nimmt man hingegen an, dass das Spiel nach maximal ''N'' Münzwürfen endet, so erhält man einen endlichen Erwartungswert. Die folgende Tabelle zeigt, welche Erwartungswerte die endliche St.Petersburg Lotterie hat, wenn das Kasino über ''W'' Euro verfügt: Zur Berechnung verwendet man die Formel ::$E\; =\backslash sum\_\{k=1\}^L\; p\_k\; 2^\{k-1\}+2^\{L-1\}\backslash sum\_\{k=L+1\}^\backslash infty\; p\_k=\backslash sum\_\{k=1\}^L\{1\; \backslash over\; 2\}+2^\{L-1\}(1-(1-\{1\; \backslash over\; \{2^L\}\}))=\{L+1\; \backslash over\; 2\},$ mit ''L'' = 1 + [log₂(''W'')], wobei [X] die größte ganze Zahl kleiner oder gleich X bezeichnen soll. {|class="wikitable" align=cener | ''Kasino verfügt'' || ''Erwartungswert der'' |- | ''über:'' || ''endlichen Lotterie:'' |- | 64 Euro || 3.50 Euro |- | 1,000,000 Euro || 10.00 Euro |- | 1,000,000,000 Euro || 15.00 Euro |- |} == Weblinks == Eine kurze Einführung in Utility Theorie und ihre Verbindung zum St. Petersburg Paradox findet sich hier: *The New Scool for Social Research, New York, "[http://cepa.newschool.edu/het/essays/uncert/bernoulhyp.htm The history of economic thought]" (in Englisch) Ein anregender, aber zuweilen nicht ganz korrekter Artikel aus Sicht eines Philosophen findet sich hier: *Martin, Robert (2004), "[http://plato.stanford.edu/archives/fall2004/entries/paradox-stpetersburg/ The St. Petersburg Paradox]". In ''The Stanford Encyclopaedia of Philosophy'' (Fall 2004 Edition), Edward N. Zalta (ed.) (in Englisch) Man kann die St.-Petersburg-Lotterie auch online spielen, allerdings ist dabei kein echtes Geld involviert: *http://www.mathematik.com/Petersburg/Petersburg.html ==Referenzen== Eine Ãœbersetzung von Bernoullis Originalarbeit ins Englische: *Bernoulli, Daniel (1738), "Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk", ''Econometrica'' vol. 22 (1954), pp. 23-36 Ein Kommentar bezüglich beschränkter Nutzenfunktion und des St.Petersburg Paradox: *[[Robert Aumann|Aumann, Robert J.]] (1977), "The St. Petersburg paradox: A discussion of some recent comments", ''Journal of Economic Theory'', vol. 14, pp. 443-445 Im Text zitierte Artikel: *[[Kenneth Arrow|Arrow, Kenneth J.]] (1974), "The use of unbounded utility functions in expected-utility maximization: Response", ''Quarterly Journal of Economics'', vol. 88, pp. 136-138 *[[Karl Menger|Menger, Karl]] (1934), "Das Unsicherheitsmoment in der Wertenlehre", ''Z. Nationalokon.'', vol. 51, pp. 459-485 *Rieger, Marc Oliver and Wang, Mei (2006), "Cumulative prospect theory and the St. Petersburg paradox", ''Economic Theory'', vol. 28, issue 3, pp. 665-679 [[Kategorie:Paradoxon]] [[en:St. Petersburg paradox]] [[es:Paradoja de San Petersburgo]] [[fi:Pietarin paradoksi]] [[fr:Paradoxe de Saint-Pétersbourg]] [[gl:Paradoxo de San Petersburgo]] [[ja:è�–ペテルスブルグã�®ãƒ‘ラドックス]]

Diese Version des Artikels stammt vom 11.07.2006.

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